考研数学整理
考研数学相关知识
对于实系数一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$ , $\Delta =b^{2}-4ac$ 称作一元二次方程根的判别式。
当 a>0, b>0时，
$a + \frac{1}{a} \ge 2 $ 常用于数列求极限
$a + b \ge 2\sqrt{ab}$
$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $ 求极限等简化原式时常用
$(x+1)^a = C_{a}^{0}x^a + C_{a}^{1}x^{a-1} + C_{a}^{1}x^{a-1} + \cdots + 1$
$(x-1)^a = C_{a}^{0}x^a - C_{a}^{1}x^{a-1} + C_{a}^{1}x^{a-1} - \cdots + 1$
$x^3 - 1 = (x^2+x+1)(x-1)$
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$ 常用于夹逼求极限
等比数列求和公式：
$q = 1,S_{n} = na_{1} $
$q\ne1, S_{n}=\frac{a(1-q^2)}{1-q}$
等差数列求和公式：$S_{n}=\frac{n \left( a_{1}+a_{n}\right)}{2} $
从n个元素取出k个元素，k个元素的排列数量为：$P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}$
从n个元素取出k个，k个元素的组合数量为：$C_{k}^{n}={n \choose k}={\frac {P_{k}^{n}}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$
$C_{n}^{0} = P_{n}^{0} = 1$
$C_{n}^{1} = P_{n}^{1} = n$
1.当$x\in (0, \frac{\pi }{2})$时， $\sin x < x < \tan x$。图示、证明见笔记
当$x \ge 0$时，$ \sin x \le x $ , $\ln(1+x) \le x$
常用于数列求极限
毕达哥拉斯三角恒等式
$\text{sin}^{2} + \text{cos}^{2} = 1$
$1+\tan ^2x=\sec ^2x$
$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$
移位公式
$\sin x =\cos (x - \frac{\pi}{2} )$
和差公式
$\sin x + \cos x= \sqrt{2} \cos (x - \frac{\pi}{4})=\sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4})$
角的和差恒等式
$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$ 注意这里的分子的加减号是相反的
例：$\tan(\alpha + \beta )={\frac {\tan \alpha + \tan \beta }{1 - \tan \alpha \tan \beta }}$
双倍角公式
$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$
$1- \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =(\sin\theta -\cos\theta )^2$
$\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$
降次公式
由双倍角公式可推
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}$
$ \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}$
半角公式
由降次公式可得
$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$
$\cos {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$
其他
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $
$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$$
f(x) = f(a) + {\frac {f^{(1)}(a)}{1!}}(x-a)^{1} + {\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2} + \cdots
$$
$$
\sum_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}
$$
如果a=0，也可以把这个级数称为麦克劳林级数:
$$
\sum_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}(x)^{n}
$$偶函数的麦克劳林公式不包含奇次项
1.几何级数
$$
{\frac {1}{1-x}}=\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+ O(x^n)
$$
$$
{\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}+\cdots + (-1)^n x^{n}+ O(x^n)
$$
2.二项式级数
$$
(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}+O(x^n)
$$
3.以e为底数的指数函数
$$
e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+O(x^n)
$$
4.以e为底数的自然对数
$$
\ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots -{\frac {x^{n}}{n}} +O(x^n)
$$
$$
\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+O(x^n)
$$
5.三角函数
$$
\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots
$$
$$
\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots
$$
$$
\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots
$$
球的体积 $V_{球}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
求得表面积 $S_{球}=4\pi r^{2}$
牛顿第二定律 $F = ma$
椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
椭圆面积：$\pi ab$
证明过程见笔记
$x-\tan x \sim -\frac{1}{3} x^3$
$x-\arcsin x \sim -\frac{1}{6}x^3 $
$x^2 -\ln ^2(1+x) \sim x^3$
$t-\ln (1+t) \sim \frac{1}{2}t^2 $
$1-\cos^a x \sim \frac{a}{2}x^2$
$1-\sec^a t \sim -t^2$ 由上式可得